已知函式,.(Ⅰ)函式與的圖象無公共點,試求實數的取值範圍;(Ⅱ)是否存在實數,使得對任意的,都有函式的圖象在...
問題詳情:
已知函式,.
(Ⅰ)函式與的圖象無公共點,試求實數的取值範圍;
(Ⅱ)是否存在實數,使得對任意的,都有函式的圖象在的圖象的下方?若存在,請求出最大整數的值;若不存在,請說理由.
(參考資料:,,,).
【回答】
【解析】(Ⅰ)函式與無公共點,等價於方程在無解.…2分
令,則令得
+ | 0 | - | |
增 | 極大值 | 減 |
因為是唯一的極大值點,故 ………………4分
故要使方程在無解,若且唯若故實數的取值範圍為
(Ⅱ)假設存在實數滿足題意,則不等式對恆成立.
即對恆成立.………………6分
令,則,
令,則, …………7分
因為在上單調遞增,,,且的圖象在上連續,所以存在,使得,即,則 ………9分
所以當時,單調遞減;當時,單調遞增,
則取到最小值,
所以,即在區間內單調遞增. ………………11分
,
所以存在實數滿足題意,且最大整數的值為. ………12分
知識點:導數及其應用
題型:解答題