設函式.若曲線在點處的切線方程為(為自然對數的底數).(1)求函式的單調區間;(2)若關於的不等式在上恆成立,...
問題詳情:
設函式.若曲線在點處的切線方程為
(為自然對數的底數).
(1)求函式的單調區間;
(2)若關於的不等式在上恆成立,求實數的取值範圍.
【回答】
(1)函式定義域為.得,
,即所以.所以, .
函式的單調遞減區間是,單調遞增區間是.…………6分
(2)由題得函式對任意恆成立,
即不等式對任意恆成立.
又,當即恆成立時,
函式遞減,設,則,所以,即,符合題意;……………………8分
當時, 恆成立,此時函式單調遞增.於是不等式對任意恆成立,不符合題意;………………10分
當時,設,
則 ;…………………12分
當時, ,此時單調遞增,
,
故當時,函式遞增.於是當時, 成立,不符合題意;………………13分
綜上所述,實數的取值範圍為: .
知識點:導數及其應用
題型:解答題