如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊的中點，DE⊥AC，垂足為點F，連線BF，下列四個結論：①△CEF∽△ACD...
問題詳情：
如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊的中點，DE⊥AC，垂足為點F，連線BF，下列四個結論：①△CEF∽△ACD；②
=2；③sin∠CAD=
；④AB=BF．其中正確的結論有 （寫出所有正確結論的序號）．
【回答】
①②④
【考點】相似三角形的判定與*質；矩形的*質；解直角三角形．
【分析】①正確．四邊形ABCD是矩形，BE⊥AC，則∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，於是△AEF∽△CAB．
②正確由AE=
AD=
BC，又AD∥BC，所以
=
=．
③錯誤．設CF=a，AF=2a，由DF2=AF•CF=2a2，得DF=
a，AD=
=
a，可得sinCAD=
=
=
．
④正確．連線AE，由∠ABE+∠AFE=90°，推出A、B、E、F四點共圓，推出∠AFB=∠AEB，由△ABE≌△CDE，推出∠AEB=∠CED，由∠BAF+∠BEF=180°，∠BEF+∠CED=180°，推出∠BAF=∠CED，推出∠BAF=∠BFA，即可*．
【解答】解：過D作DM∥BE交AC於N，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ADC=90°，AD=BC，BE⊥AC於點F，
∴∠DAC=∠ECF，∠ADC=∠CFE=90°，
∴△CEF∽△ADC，故①正確；
∵AD∥BC，
∴△CEF∽△ADF，
∴
=
，
∵CE=
BC=
AD，
∴
=
=2，
∴AF=2CE，故②正確，
設CF=a，AF=2a，由DF2=AF•CF=2a2，得DF=
a，AD=
=
a
∴sinCAD=
=
=
，故③錯誤．
連線AE，∵∠ABE+∠AFE=90°，
∴A、B、E、F四點共圓，
∴∠AFB=∠AEB，
∵AB=CD，BE=EC，∠CDE，
∴△ABE≌△CDE，
∴∠AEB=∠CED，
∵∠BAF+∠BEF=180°，∠BEF+∠CED=180°，
∴∠BAF=∠CED，
∴∠BAF=∠BFA，
∴BA=BF，故④正確．
故*為①②④．
【點評】本題考查了相似三角形的判定和*質，矩形的*質，全等三角形的判定和*質、四點共圓等知識，正確的作出輔助線是解題的關鍵，學會利用此時解決問題，屬於會考常考題型．
知識點：相似三角形
題型：填空題
