已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB≥AC，D，E分別為AC，BC邊上的點（不包括端點），且==m，連...
問題詳情：
已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB≥AC，D，E分別為AC，BC邊上的點（不包括端點），且
=
=m，連結AE，過點D作DM⊥AE，垂足為點M，延長DM交AB於點F．
（1）如圖1，過點E作EH⊥AB於點H，連結DH．
①求*：四邊形DHEC是平行四邊形；
②若m=
，求*：AE=DF；
（2）如圖2，若m=
，求
的值．
【回答】
（1）①*見解析；②*見解析；（2）
【解析】
分析：（1）①先判斷出△BHE∽△BAC，進而判斷出HE=DC，即可得出結論；
②先判斷出AC=AB，BH=HE，再判斷出∠HEA=∠AFD，即可得出結論；
（2）先判斷出△EGB∽△CAB，進而求出CD：BE=3：5，再判斷出∠AFM=∠AEG進而判斷出△FAD∽△EGA，即可得出結論．
詳解：（1）①*：∵EH⊥AB，∠BAC=90°，
∴EH∥CA，
∴△BHE∽△BAC，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴HE=DC，
∵EH∥DC，
∴四邊形DHEC是平行四邊形；
②∵
，∠BAC=90°，
∴AC=AB，
∵
，HE=DC，
∴HE=DC，
∴
，
∵∠BHE=90°，
∴BH=HE，
∵HE=DC，
∴BH=CD，
∴AH=AD，
∵DM⊥AE，EH⊥AB，
∴∠EHA=∠AMF=90°，
∴∠HAE+∠HEA=∠HAE+∠AFM=90°，
∴∠HEA=∠AFD，
∵∠EHA=∠FAD=90°，
∴△HEA≌△AFD，
∴AE=DF；
（2）如圖，過點E作EG⊥AB於G，
∵CA⊥AB，
∴EG∥CA，
∴△EGB∽△CAB，
∴
，
∴
，
∵
，
∴EG=CD，
設EG=CD=3x，AC=3y，
∴BE=5x，BC=5y，
∴BG=4x，AB=4y，
∵∠EGA=∠AMF=90°，
∴∠GEA+∠EAG=∠EAG+∠AFM，
∴∠AFM=∠AEG，
∵∠FAD=∠EGA=90°，
∴△FAD∽△EGA，
∴
.
點睛：此題是相似形綜合題，主要考查了平行四邊形的判定和*質，相似三角形的判定和*質，全等三角形的判定和*質，判斷出∠HEA=∠AFD是解本題的關鍵．
知識點：平行四邊形
題型：解答題
