如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC時       （1）若CE⊥BD於E，①∠...

問題詳情：

如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC時       

（1）若CE⊥BD於E，

①∠ECD=　　°；

②求*：BD=2EC；

（2）如圖，點P是*線BA上A點右邊一動點，以CP為斜邊作等腰直角△CPF，其中∠F=90°，點Q為∠FPC與∠PFC的角平分線的交點．當點P運動時，點Q是否一定在*線BD上？若在，請*，若不在；請説明理由．

【回答】

【考點】三角形綜合題．

【分析】（1）①先運用三角形內角和定理，得出∠ABD=∠ECD，再根據∠ABD=22.5°，得到∠ECD=22.5°；②延長CE交BA的延長線於點G，通過判定△ABD≌△ACG，得出BD=CG=2CE即可；

（2）連接CQ，過點Q作QM⊥BP於M，作QN⊥BC於N，在等腰直角△CPF中，求得∠QCP=∠QPC=22.5°，進而得出△PQC中，∠PQC=135°；在四邊形QNBM中，根據QM⊥BP，QN⊥BC，∠ABC=45°，得到∠MQN=135°，進而得到∠NQC=∠MQP，根據AAS判定△QPM≌△QCN，得出QM=QN，最後根據角平分線的*質定理的逆定理，得出點Q一定在*線BD上．

【解答】解：（1）①∵∠BAC=90°，CE⊥BD，∠ADB=∠CDE，

∴∠ABD=∠ECD，

又∵∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，

∴∠ABD=22.5°，

∴∠ECD=22.5°；

故*為：22.5．

②如圖，延長CE交BA的延長線於點G，

∵BD平分∠ABC，CE⊥BD，

∴CE=GE，

在△ABD與△ACG中，

，

∴△ABD≌△ACG（AAS），

∴BD=CG=2CE；

（2）點Q一定在*線BD上，

理由：如圖，連接CQ，過點Q作QM⊥BP於M，作QN⊥BC於N，

∵QF為∠PFC的角平分線，△CPF為等腰直角三角形，

∴QF為PC的垂直平分線，

∴PQ=QC，

∵Q為∠FPC與∠PFC的角平分線的交點，

∴CQ平分∠FCP，

∵△CPF為等腰直角三角形，

∴∠FCP=∠FPC=45°，

∴∠QCP=∠QPC=22.5°，

∴△PQC中，∠PQC=135°，

∵在四邊形QNBM中，QM⊥BP，QN⊥BC，∠ABC=45°，

∴∠MQN=135°，

∴∠MQN=∠PQC，

∴∠NQC=∠MQP，

又∵QC=QP，QM⊥BP，QN⊥BC，

∴△QPM≌△QCN（AAS），

∴QM=QN，

又∵QM⊥BP，QN⊥BC，

∴點Q一定在*線BD上．

【點評】本題主要考查了三角形的綜合應用，解題時需要運用三角形內角和定理、等腰直角三角形的*質、角平分線的定義以及全等三角形的判定與*質等知識．解決問題的關鍵是作輔助線，構造全等三角形，根據全等三角形的*質進行推導．解題時注意：到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上．

知識點：三角形全等的判定

題型：綜合題