.設函數f(x)=x-1ex的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞).(1)求函數f(x)在[m,m+1](m&g...

問題詳情：

.設函數f(x)=x-1ex的定義域為(-∞, 0)∪(0, +∞).

(1)求函數f(x)在[m,m+1](m>0)上的最小值;

(2)設函數g(x)=若x1≠x2,且g(x1)=g(x2),  *:x1+x2>2.

【回答】

 (1)解:由題意得f'(x)=,則當x>1時,f'(x)>0;              

0<x<1時,f'(x)<0.

由此可知函數f(x)在(0,1)上是減函數,在(1,+∞)上是增函數.

當m≥1時,函數f(x)在[m,m+1]上是增函數,

此時f(x)min=f(m)=.

當0<m<1時,函數f(x)在[m,1]上是減函數,

在[1,m+1]上是增函數,此時f(x)min=f(1)=e.

(2)*:由題意可得g(x)=xe-x(x∈R),g'(x)=(1-x)e-x.

所以g(x)在(-∞,1)上是增函數,在(1,+∞)上是減函數.①

設函數F(x)=g(x)-g(2-x),

即F(x)=xe-x+(x-2)ex-2,

於是F'(x)=(x-1)(e2x-2-1)e-x,

當x>1時,2x-2>0,從而e2x-2-1>0,

又e-x>0,所以F'(x)>0,

從而函數F(x)在[1,+∞)上是增函數.

又F(1)=e-1-e-1=0,所以x>1時,

有F(x)>F(1)=0,即g(x)>g(2-x).②

由①及g(x1)=g(x2)知x1與x2只能在1的兩側.

不妨設0<x1<1,x2>1,

由結論②可知,g(x2)>g(2-x2),

所以g(x1)=g(x2)>g(2-x2).

因為x2>1,所以2-x2<1,

又由結論①可知函數g(x)在(-∞,1)上是增函數,

所以x1>2-x2,即x1+x2>2.

知識點：基本初等函數I

題型：填空題