設函數f′(x)是奇函數f(x)(x∈R)的導函數,f(-1)=0,當x>0時,xf′(x)-f(x)&...
問題詳情：
設函數f′(x)是奇函數f(x)(x∈R)的導函數,f(-1)=0,當x>0時,xf′(x)-f(x)<0,則使得f(x)>0成立的x的取值範圍是( )
A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)
【回答】
A.記函數g(x)=
,
則g′(x)=
,
因為當x>0時,xf′(x)-f(x)<0,
故當x>0時,g′(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)上單調遞減;
又因為函數f(x)(x∈R)是奇函數,故函數g(x)是偶函數,所以g(x)在(-∞,0)上單調遞增,
且g(-1)=g(1)=0.
當0<x<1時,g(x)>0,則f(x)>0;
當x<-1時,g(x)<0,則f(x)>0,
綜上所述,使得f(x)>0成立的x的取值範圍是(-∞,-1)∪(0,1).
知識點：導數及其應用
題型：選擇題
