已知函數f(x)= lnx-x+ ,其中a>0.(1)若f(x)在(0,+∞)上存在極值點,求a的取值範...
問題詳情:
已知函數f(x)= lnx-x+ ,其中a>0. (1)若f(x)在(0,+∞)上存在極值點,求a的取值範圍; (2)設a∈(1,e],當x1∈(0,1),x2∈(1,+∞)時,記f(x2)-f(x1)的最大值爲M(a).那麼M(a)是否存在最大值?若存在,求出其最大值;若不存在,請說明理由.
【回答】
(1)解: f′(x)= -1- = ,x∈(0,+∞). ①當a=1時,f′(x)=- ≤0,f(x)在(0,+∞)上單調遞減,不存在極值點; ②當a>0且a≠1時,f′(a)=f′ =0.經檢驗a, 均爲f(x)的極值點. ∴a∈(0,1)∪(1,+∞). (2)解:當a∈(1, e]時,0< <1<a.由(1)知,當f′(x)>0時, <x<a;當f′(x)<0時,x>a或x< . ∴f(x)在 上單調遞減,在 上單調遞增,在(a,+∞)上單調遞減. ∴對∀x1∈(0,1),有f(x1)≥f ;對∀x2∈(1,+∞),有f(x2)≤f(a).∴[f(x2)-f(x1)]max=f(a)-f . ∴M(a)=f(a)-f = - =2 ,a∈(1,e]. M′(a)=2 lna+2 +2 =2 lna,a∈(1,e].∴M′(a)>0,即M(a)在(1,e]上單調遞增. ∴M(a)max=M(e)=2 +2 = .∴M(a)存在最大值 .
知識點:高考試題
題型:解答題