已知拋物線y＝a（x﹣2）2+c經過點A（2，0）和C（0，），與x軸交於另一點B，頂點爲D．（1）求拋物線的...

問題詳情：

已知拋物線y＝a（x﹣2）2+c經過點A（2，0）和C（0，），與x軸交於另一點B，頂點爲D．

（1）求拋物線的解析式，並寫出D點的座標；

（2）如圖，點E，F分別在線段AB，BD上（E點不與A，B重合），且∠DEF＝∠A，則△DEF能否爲等腰三角形？若能，求出BE的長；若不能，請說明理由；

（3）若點P在拋物線上，且＝m，試確定滿足條件的點P的個數．

【回答】

【解答】解：（1）由題意：，

解得，

∴拋物線的解析式爲y＝﹣（x﹣2）2+3，

∴頂點D座標（2，3）．

（2）可能．如圖1，

∵A（﹣2，0），D（2，3），B（6，0），

∴AB＝8，AD＝BD＝5，

①當DE＝DF時，∠DFE＝∠DEF＝∠ABD，

∴EF∥AB，此時E與B重合，與條件矛盾，不成立．

②當DE＝EF時，

又∵△BEF∽△AED，

∴△BEF≌△AED，

∴BE＝AD＝5

③當DF＝EF時，∠EDF＝∠DEF＝∠DAB＝∠DBA，

△FDE∽△DAB，

∴＝，

∴＝＝，

∵△AEF∽△BCE

∴＝＝，

∴EB＝AD＝，

答：當BE的長爲5或時，△CFE爲等腰三角形．

（3）如圖2中，連接BD，當點P在線段BD的右側時，作DH⊥AB於H，連接PD，PH，PB．設P[n，﹣（n﹣2）2+3]，

則S△PBD＝S△PBH+S△PDH﹣S△BDH＝×4×[﹣（n﹣2）2+3]+×3×（n﹣2）﹣×4×3＝﹣（n﹣4）2+，

∵﹣＜0，

∴n＝4時，△PBD的面積的最大值爲，

∵＝m，

∴當點P在BD的右側時，m的最大值＝＝，

觀察圖象可知：當0＜m＜時，滿足條件的點P的個數有4個，

當m＝時，滿足條件的點P的個數有3個，

當m＞時，滿足條件的點P的個數有2個（此時點P在BD的左側）．

知識點：各地中考

題型：綜合題