如圖，拋物線y＝ax2+x+c交x軸於A，B兩點，交y軸於點C．直線y＝﹣x﹣2經過點A，C．（1）求拋物線的...

問題詳情：

如圖，拋物線y＝ax2+x+c交x軸於A，B兩點，交y軸於點C．直線y＝﹣x﹣2經過點A，C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是拋物線上一動點，過點P作x軸的垂線，交直線AC於點M，設點P的橫座標爲m．

①當△PCM是直角三角形時，求點P的座標；

②作點B關於點C的對稱點B'，則平面內存在直線l，使點M，B，B′到該直線的距離都相等．當點P在y軸右側的拋物線上，且與點B不重合時，請直接寫出直線l：y＝kx+b的解析式．（k，b可用含m的式子表示）

【回答】

【分析】（1）利用一次函數圖象上點的座標特徵可求出點A，C的座標，根據點A，C的座標，利用待定係數法可求出二次函數解析式；

（2）①由PM⊥x軸可得出∠PMC≠90°，分∠MPC＝90°及∠PCM＝90°兩種情況考慮：（i）當∠MPC＝90°時，PC∥x軸，利用二次函數圖象上點的座標特徵可求出點P的座標；（ii）當∠PCM＝90°時，設PC與x軸交於點D，易*△AOC∽△COD，利用相似三角形的*質可求出點D的座標，根據點C，D的座標，利用待定係數法可求出直線PC的解析式，聯立直線PC和拋物線的解析式成方程組，透過解方程組可求出點P的座標．綜上，此問得解；

②利用二次函數圖象上點的座標特徵可得出點B，P的座標，根據點P，B的座標，利用待定係數法可求出直線PB的解析式，結合題意可知：直線l過點C，且直線l∥直線PB，再結合點C的座標即可求出直線l的解析式．

【解答】解：（1）當x＝0時，y＝﹣x﹣2＝﹣2，

∴點C的座標爲（0，﹣2）；

當y＝0時，﹣x﹣2＝0，

解得：x＝﹣4，

∴點A的座標爲（﹣4，0）．

將A（﹣4，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+x+c，得：

，解得：，

∴拋物線的解析式爲y＝x2+x﹣2．

（2）①∵PM⊥x軸，

∴∠PMC≠90°，

∴分兩種情況考慮，如圖1所示．

（i）當∠MPC＝90°時，PC∥x軸，

∴點P的縱座標爲﹣2．

當y＝﹣2時，x2+x﹣2＝﹣2，

解得：x1＝﹣2，x2＝0，

∴點P的座標爲（﹣2，﹣2）；

（ii）當∠PCM＝90°時，設PC與x軸交於點D．

∵∠OAC+∠OCA＝90°，∠OCA+∠OCD＝90°，

∴∠OAC＝∠OCD．

又∵∠AOC＝∠COD＝90°，

∴△AOC∽△COD，

∴＝，即＝，

∴OD＝1，

∴點D的座標爲（1，0）．

設直線PC的解析式爲y＝kx+b（k≠0），

將C（0，﹣2），D（1，0）代入y＝kx+b，得：

，解得：，

∴直線PC的解析式爲y＝2x﹣2．

聯立直線PC和拋物線的解析式成方程組，得：，

解得：，，

點P的座標爲（6，10）．

綜上所述：當△PCM是直角三角形時，點P的座標爲（﹣2，﹣2）或（6，10）．

②當y＝0時，x2+x﹣2＝0，

解得：x1＝﹣4，x2＝2，

∴點B的座標爲（2，0）．

∵點C的座標爲（0，﹣2），點B，B′關於點C對稱，

∴點B′的座標爲（﹣2，﹣4）．

∵點P的橫座標爲m（m＞0且m≠0），

∴點M的座標爲（m，0）．

分三種情況考慮，如圖2所示：

∴直線PB的解析式爲y＝（m+4）x﹣（m+4）（可利用待定係數求出）．

∵點B，B′關於點C對稱，點B，B′，P到直線l的距離都相等，

∴直線l過點C，且直線l∥直線PB，

∴直線l的解析式爲y＝（m+4）x﹣2．

【點評】本題考查了一次函數圖象上點的座標特徵、待定係數法二次函數解析式、二次函數圖象上點的座標特徵、待定係數法求一次函數解析式、相似三角形的判定與*質以及平行線的*質，解題的關鍵是：（1）根據點的座標，利用待定係數法求出二次函數解析式；（2）①分∠MPC＝90°及∠PCM＝90°兩種情況求出點P的座標；②利用待定係數法及平行線的*質，求出直線l的解析式．

知識點：各地中考

題型：綜合題