已知拋物線(a≠0)與x軸交於點A(﹣1,0)和點B(4,0).(1)求拋物線的函數解析式;(2)如圖①,將拋...
問題詳情:
已知拋物線(a≠0)與x軸交於點A(﹣1,0)和點B(4,0).
(1)求拋物線的函數解析式;
(2)如圖①,將拋物線沿x軸翻折得到拋物線,拋物線與y軸交於點C,點D是線段BC上的一個動點,過點D作DE∥y軸交拋物線於點E,求線段DE的長度的最大值;
(3)在(2)的條件下,當線段DE處於長度最大值位置時,作線段BC的垂直平分線交DE於點F,垂足爲H,點P是拋物線上一動點,⊙P與直線BC相切,且S⊙P:S△DFH=2π,求滿足條件的所有點P的座標.
【回答】
(1);(2)9;(3)(,﹣),(,),(,),(,).
【分析】
(1)將點A(﹣1,0)和點B(4,0)代入即可得到結論;
(2)由對稱*可知,得到拋物線y2的函數解析式爲,求得直線BC的解析式爲:y=﹣x+4,設D(m,﹣m+4),E(m,),其中0≤m≤4,得到DE=﹣m+4﹣()=,即可得到結論;
(3)由題意得到△BOC是等腰直角三角形,求得線段BC的垂直平分線爲y=x,由(2)知,直線DE的解析式爲x=1,得到H(2,2),根據S⊙P:S△DFH=2π,得到r=,由於⊙P與直線BC相切,推出點P在與直線BC平行且距離爲的直線上,於是列方程即可得到結論.
【詳解】
解:(1)將點A(﹣1,0)和點B(4,0)代入得:
解得,
∴拋物線y1的函數解析式爲:;
(2)由對稱*可知,拋物線y2的函數解析式爲:,
∴C(0,4),
設直線BC的解析式爲:y=kx+q,
把B(4,0),C(0,4)代入得,k=﹣1,q=4,
∴直線BC的解析式爲:y=﹣x+4,設D(m,﹣m+4),E(m,),其中0≤m≤4,
∴DE=﹣m+4﹣()=,
∵0≤m≤4,
∴當m=1時,DEmax=9;
此時,D(1,3),E(1,﹣6);
(3)由題意可知,△BOC是等腰直角三角形,
∴線段BC的垂直平分線爲:y=x,由(2)知,直線DE的解析式爲:x=1,
∴F(1,1),
∵H是BC的中點,
∴H(2,2),
∴DH=,FH=,
∴S△DFH=1,設⊙P的半徑爲r,
∵S⊙P:S△DFH=2π,
∴r=,
∵⊙P與直線BC相切,
∴點P在與直線BC平行且距離爲的直線上,
∴點P在直線y=﹣x+2或y=﹣x+6的直線上,
∵點P在拋物線上,
∴,
解得:x1=,x2=,
,
解得:x3=,x4=,
∴符合條件的點P座標有4個,分別是(,﹣),(,),(,),(,).
【點睛】
本題考查了待定係數法求函數的解析式,摺疊的*質,二次函數的最大值問題,等腰直角三角形的*質,線段的垂直平分線的*質,直線與圓的位置關係,正確的理解題意是解題的關鍵.
知識點:二次函數單元測試
題型:解答題