在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于...
问题详情：
在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．
（1）（3分）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S；
（2）（3分）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？
（3）（3分）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
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【回答】
解：
（1）∵MN∥BC， ∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C， ∴△AMN∽△ABC， ∴ | |
（2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO、OD， 则AO=OD= | |
（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，如图3，连结AP， 则O点为AP的中点， ∵MN∥BC， ∴∠AMN=∠B，∠AOM=∠APC， ∴△AMO∽△ABP， ∴ |
，即
， ∴AN=
x， ∴
（0<x<4）。
MN， 在Rt△ABC中，
， 由（1）知△AMN∽△ABC， ∴
，即
， ∴
， 
∴
， 过M点作MQ⊥BC 于Q，则
， 在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是
， ∴
，
， ∴x=
， ∴当x=
时，⊙O与直线BC相切。
，AM=MB=2， 故以下分两种情况讨论： ①当0＜x≤2时，
； ∴当x=2时，
； ②当2＜x＜4时，如图4，设PM，PN分别交BC于E，F， ∵四边形AMPN是矩形， ∴PN∥AM，PN=AM=x， 又∵MN∥BC， ∴四边形MBFN是平行四边形， ∴FN=BM=4-x， ∴PF=x-（4-x）=2x-4， 又△PEF∽△ACB， ∴
， ∴
， 
， 当2＜x＜4时，
， ∴当
时，满足2＜x＜4，
， 综上所述，当
时，y值最大，最大值是2。知识点：点和圆、直线和圆的位置关系
题型：解答题
