直线,与的平分线交于点C,过点C作一条直线分别与直线PA,QB相交于点D,E.(1)如图(1),当直线l与PA...
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直线,与的平分线交于点C,过点C作一条直线分别与直线PA,QB相交于点D,E.
(1)如图(1),当直线l与PA垂直时,求*:.
(2)如图(2),当直线l与PA不垂直且点D,E在AB同侧时,(1)中的结论是否成立?如果成立,请*;如果不成立,请说明理由.
(3)当直线l与PA不垂直且点D,E在AB异侧时,(1)中的结论是否仍然成立?如果成立,请*;如果不成立,请写出AD,BE,AB之间的数量关系(不用*).
【回答】
(1)*见解析;(2)成立,*见解析;(3)不成立,.
【解析】
(1)根据各线段之间的长度,先猜想AD+BE=AB;
(2)在AB上截取AG=AD,连接CG,利用三角形全等的判定定理可判断出AD=AG.同理可*BG=BE,即AD+BE=AB;
(3)画出直线l与直线MA不垂直且交点D、E在AB的异侧时的图形,分两种情况讨论:①当点D在*线AM上、点E在*线BN的反向延长线上时;②点D在*线AM的反向延长线上,点E在*线BN上时;得到AD,BE,AB之间的关系.
【详解】
(1)如图,过点C作于点F.
平分,BC平分,
,.
,,
,
,
,
.
,
.
在△与中,,
,
.
同理可得.
,
;
(2)成立.*:如图,在AB上截取,连接CG.
平分,
.
在与中,,
,
.
,
.
,BC平分,
,
,
,即.
,
,.
在与中,,
,
,
,
;
(3)不成立.当点D在*线AP上,点E在*线BQ的反向延长线上时,如图(3),;
延长BC交AM于F,
∵AD∥BN,
∴∠4=∠AFB=∠3,∠FDC=∠CEB,
∴AF=AB,
∵∠1=∠2,
∴AC⊥BF,CF=BC,
在△CDF和△CEB,
∴△CDF≌△CEB(AAS),
∴DF=BE,
∴AD-BE=AD-DF=AF=AB,
∴;
当点D在*线AP的反向延长线上,点E在*线BQ上时,如图,,
∵AC和BC分别为∠FAB和∠ABE的角平分线,
∴∠FAC=∠BAC,∠ABC=∠EBC,
∵AF∥BE,
∴∠AFC=∠EBC,
∴∠ABC=∠AFC,
在△AFC和△ABC中,
∴△AFC≌△ABC,
∴AF=AB,FC=BC,
∵AF∥BE,
∴∠AFC=∠EBC,
∴在△DFC和△EBC中,
∴△DFC≌△EBC,
∴DF=BE,
∴DF-AD=BE-AD=AF=AB,
即.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和*质,平行线的*质,角平分线的定义,正确的作出辅助线是解题的关键.
知识点:角
题型:解答题