如图1，正方形OABC的边长为12，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，双曲线y=（x＞0）与边BC、AD分别...
问题详情：
如图1，正方形OABC的边长为12，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，双曲线y=
（x＞0）与边BC、AD分别交于点D、E，且BD=AE．
（1）求k的值；
（2）如图2，若点N为双曲线y=
上正方形OABC内部一动点，过点N作y轴的垂线，交AC于点F，交AB于点G，过点F作x轴的垂线交双曲线y=
于点M．设点N的纵坐标为n．
①若n=8，求*：△BMN是直角三角形；
②若去掉①中的条件“n=8”，△BMN是否仍为直角三角形？请*你的结论．
【回答】
解：（1）∵正方形OABC的边长为12，
∴A（12，0），C（0，12），B（12，12），
∴BC=12，
设点D（m，12），
∴CD=m，
∴BD=BC﹣CD=12﹣m，
∵AE=BD=12﹣m，
∴E（12，12﹣m
），
∵D，E在反比例函数y=
，
∴k=12m=12（12﹣m），
∴m=6，
∴k=72；
（2）当n=8时，
∴G（12，8），
∵FG∥x轴，
∴点F，N的纵坐标为8，
∵点N在反比例函数y=
上，
∴N（9，8），
∵A（12，0），C（0，12），
∴直线AC的解析式为y=﹣x+12，
∵点F在直线AC上，
∴F（4，8），
∵FM⊥x轴交反比例函数于M，
∴M（4，18），
∵B（12，12），
∴BM2=（12﹣4）2+（12﹣18）2=100，BN2=（12﹣9）2+（12﹣8）2=25，MN2=（9﹣4）2+（8﹣18）2=125，
∴BM2+BN2=MN2，
∴△BMN是直角三角形；
（3）同（2）的方法得，N（
，n），M（12﹣n，
），
∵B（12，12），
∴BM2=（12﹣n﹣12）2+（
﹣12）2=n2+（
）2﹣24×
+144
BN2=（
﹣12）2+（n﹣12）2=（
﹣12）2+n2﹣24n+144
MN2=（12﹣n﹣
）2+（﹣n）2
=（﹣12）2+2n（
﹣12）+n2+（
）2﹣2n×
+n2
=（﹣12）2+144﹣24n+n2+（）2﹣2n×+n2．
∴BM2+BN2﹣MN2
=n2+（
）2﹣24×+144+（﹣12）2+n2﹣24n+144﹣[（
﹣12）2+144﹣24n+n2+（
）2﹣2n×
+n2]
=n2+（
）2﹣24×+144+（﹣12）2+n2﹣24n+144﹣（﹣12）2﹣144+24n﹣n2﹣（
）2+2n×
﹣n2
=﹣24×
+144+2n×=﹣2（12﹣n）×+144=0，
∴BM2+BN2=MN2，
∴△BMN是直角三角形．
知识点：反比例函数
题型：解答题
