如图，已知∠XOY=60°，点A在边OX上，OA=2．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边...

问题详情：

如图，已知∠XOY=60°，点A在边OX上，OA=2．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD=a，OE=b，则a+2b的取值范围是_____．

【回答】

2≤a+2b≤5．

【解析】

【分析】

作辅助线，构建30度的直角三角形，先*四边形EODP是平行四边形，得EP=OD=a，在Rt△HEP中，∠EPH=30°，可得EH的长，计算a+2b=2OH，确认OH最大和最小值的位置，可得结论．

【详解】

解：过P作PH⊥OY交于点H，

∵PD∥OY，PE∥OX，

∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP=∠XOY=60°，

∴EP=OD=a，

Rt△HEP中，∠EPH=30°，

∴EH=EP=a，

∴a+2b=2（a+b）=2（EH+EO）=2OH，

当P在AC边上时，H与C重合，此时OH的最小值=OC=OA=1，即a+2b的最小值是2；

当P在点B时，OH的最大值是：1+=，即（a+2b）的最大值是5，

∴2≤a+2b≤5．

故*为：2≤a+2b≤5

【点睛】

本题考查了等边三角形的*质、直角三角形30度角的*质、平行四边形的判定和*质，有难度，掌握确认a+2b的最值就是确认OH最值的范围．

知识点：等腰三角形

题型：填空题