*作：如图①，点O为线段MN的中点，直线PQ与MN相交于点O，请利用图①画出一对以点O为对称中心的全等三角形．...

问题详情：

*作：如图①，点O为线段MN的中点，直线PQ与MN相交于点O，请利用图①画出一对以点O为对称中心的全等三角形．

根据上述*作得到的经验完成下列探究活动：

如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F．试探究线段AB与AF、CF之间的等量关系，并*你的结论；

如图③，DE、BC相交于点E，BA交DE于点A，且BE：EC=1：2，∠BAE=∠EDF，CF∥AB．若AB=5，CF=1，求DF的长度．

【回答】

【解答】解：（1）如图1，

（2）结论：AB=AF+CF．

*：如图2，分别延长AE、DF交于点M．

∵E为BC的中点，

∴BE=CE，

∵AB∥CD，

∴∠BAE=∠M，

在△ABE与△MCE中，

∵，

∴△ABE≌△MCE（AAS），

∴AB=MC，

又∵∠BAE=∠EAF，

∴∠M=∠EAF，

∴MF=AF，

又∵MC=MF+CF，

∴AB=AF+CF；

（3）如图3，分别延长DE、CF交于点G．

∵AB∥CF，

∴∠B=∠C，∠BAE=∠G，

∴△ABE∽△GCE，

∴，

又∵，

∴，

∵AB=5，

∴GC=10，

∵FC=1，

∴GF=9，

∵AB∥CF，

∴∠BAE=∠G，

又∵∠BAE=∠EDF，

∴∠G=∠EDF，

∴GF=DF，

∴DF=9．

知识点：相似三角形

题型：综合题