已知△ABC是斜三角形,内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c.若csinA=acosC.(Ⅰ)求角C;(...
问题详情:
已知△ABC是斜三角形,内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c.若csinA=acosC.
(Ⅰ)求角C;
(Ⅱ)若c=,且sinC+sin(B﹣A)=5sin2A,求△ABC的面积.
【回答】
【考点】余弦定理;正弦定理.
【分析】(I)由,利用正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC,于是,即可得出;
(II)由sinC+sin(B﹣A)=5sin2A,sinC=sin(A+B),可得sinB=5sinA,由正弦定理可知b=5a,由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC,联立解出,再利用三角形面积计算公式即可得出.
【解答】解:(I)∵,由正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC,
sinA≠0,
∴,
得,
∵C∈(0,π),
∴.
(II)∵sinC+sin(B﹣A)=5sin2A,sinC=sin(A+B),
∴sin(A+B)+sin(B﹣A)=5sin2A,
∴2sinBcosA=2×5sinAcosA,
∵△ABC为斜三角形,
∴cosA≠0,
∴sinB=5sinA,
由正弦定理可知b=5a (1)
由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC,
∴,(2)
由(1)(2)解得a=5,b=1,
∴.
知识点:解三角形
题型:解答题