如图,抛物线与轴交于,两点,点,分别位于原点的左、右两侧,,过点的直线与轴正半轴和抛物线的交点分别为,,.(1...
问题详情:
如图,抛物线与轴交于,两点,点,分别位于原点的左、右两侧,,过点的直线与轴正半轴和抛物线的交点分别为,,.
(1)求,的值;
(2)求直线的函数解析式;
(3)点在抛物线的对称轴上且在轴下方,点在*线上,当与相似时,请直接写出所有满足条件的点的坐标.
【回答】
(1); (2) (3),,,
【解析】
(1)根据,得出,,将A,B代入得出关于b,c的二元一次方程组求解即可;
(2)根据二次函数是,,,得出的横坐标为,代入抛物线解析式求出,设得解析式为:,将B,D代入求解即可;
(3)由题意得tan∠ABD=,tan∠ADB=1,由题意得抛物线的对称轴为直线x=1,设对称轴与x轴交点为M,P(1,n)且n<0,Q(x,0)且x<3,分①当△PBQ∽△ABD时,②当△PQB∽△ABD时,③当△PQB∽△DAB时,④当△PQB∽△ABD时四种情况讨论即可.
【详解】
解:(1)∵,
∴,,
∴将A,B代入得,
解得,
∴,;
(2)∵二次函数是,,,
∴的横坐标为,
代入抛物线解析式得
∴,
设得解析式为:
将B,D代入得,
解得,
∴直线的解析式为;
(3)由题意得tan∠ABD=,tan∠ADB=1,
由题意得抛物线的对称轴为直线x=1,设对称轴与x轴交点为M,P(1,n)且n<0,Q(x,0)且x<3,
①当△PBQ∽△ABD时,tan∠PBQ=tan∠ABD即=,
解得n=,
tan∠PQB=tan∠ADB即,
解得x=1-,
此时Q的坐标为(1-,0);
②当△PQB∽△ABD时,tan∠PBQ=tan∠ADB即=1,
解得n=-2,
tan∠QPB=tan∠ABD即=,
解得x=1-,
此时Q的坐标为(1-,0);
③当△PQB∽△DAB时,tan∠PBQ=tan∠ABD即=,
解得n=,
tan∠PQM=tan∠DAE即,
解得x=-1,
此时Q的坐标为(-1,0);
④当△PQB∽△ABD时,tan∠PBQ=tan∠ABD即=1,
解得n=-2,
tan∠PQM=tan∠DAE即,
解得x=5-,
Q的坐标为(5-,0);
综上:Q的坐标可能为,,,.
【点睛】
本题考查了二次函数,一次函数,相似三角形的判定和*质,锐角三角函数,掌握知识点灵活运用是解题关键.
知识点:相似三角形
题型:综合题