如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP＝CB．（1）求*：BC...

问题详情：

如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP＝CB．

（1）求*：BC是⊙O的切线；

（2）若OA＝5，OP＝3，求CB的长；

（3）设△AOP的面积是S1，△BCP的面积是S2，且．若⊙O的半径为4，BP＝，求tan∠CBP．

【回答】

【解析】（1）*：连接OB，如图，

∵OP⊥OA，

∴∠AOP＝90°，

∴∠A+∠APO＝90°，

∵CP＝CB，

∴∠CBP＝∠CPB，

而∠CPB＝∠APO，

∴∠APO＝∠CBP，

∵OA＝OB，

∴∠A＝∠OBA，

∴∠OBC＝∠CBP+∠OBA＝∠APO+∠A＝90°，

∴OB⊥BC，

∴BC是⊙O的切线；

（2）解：设BC＝x，则PC＝x，

在Rt△OBC中，OB＝OA＝5，OC＝CP+OP＝x+3，

∵OB2+BC2＝OC2，

∴52+x2＝（x+3）2，

解得x＝，

即BC的长为；

（3）解：如图，作CD⊥BP于D，

∵PC＝PB，

∴PD＝BD＝PB＝，

∵∠PDC＝∠AOP＝90°，∠APO＝∠CPD，

∴△AOP∽△PCD，

∵，

∴，

∴，

∵OA＝4，

∴CD＝，

∴tan∠CBP＝＝2．

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：解答题