一个几何体是由圆柱和三棱锥EABC组合而成,点A,B,C在圆O的圆周上,其正视图、侧视图的面积分别为10和12...

问题详情：

一个几何体是由圆柱和三棱锥EABC组合而成,点A,B,C在圆O的圆周上,其正视图、侧视图的面积分别为10和12,如图所示,其中EA⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC,AE=2.

(1)求*:AC⊥BD;

(2)求二面角ABDC的大小.

【回答】

解:法一　(1)因为EA⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,

所以EA⊥AC,

即ED⊥AC.

又因为AC⊥AB,AB∩ED=A,

所以AC⊥平面EBD.

因为BD⊂平面EBD,

所以AC⊥BD.

(2)因为点A,B,C在圆O的圆周上,且AB⊥AC,

所以BC为圆O的直径.

设圆O的半径为r,圆柱高为h,根据正视图、侧视图的面积可得

解得

所以BC=4,AB=AC=2.

过点C作CH⊥BD于点H,连接AH,

由(1)知,AC⊥BD,AC∩CH=C,

所以BD⊥平面ACH.

因为AH⊂平面ACH,

所以BD⊥AH.

所以∠AHC为二面角ABDC的平面角.

由(1)知,AC⊥平面ABD,AH⊂平面ABD,

所以AC⊥AH,

即△CAH为直角三角形.

在Rt△BAD中,AB=2,AD=2,

则BD==2.

由AB·AD=BD·AH,

解得AH=.

因为tan ∠AHC==.

所以∠AHC=60°.

所以二面角ABDC的平面角大小为60°.

法二　(1)因为点A,B,C在圆O的圆周上,且AB⊥AC,所以BC为圆O的直径.

设圆O的半径为r,圆柱高为h,根据正视图、侧视图的面积可得

解得

所以BC=4,AB=AC=2.

以点D为原点,DD1,DE所在的直线分别为x轴、z轴建立如图的空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),D1(4,0,0),A(0,0,2),B(2,2,2),

C(2,-2,2),=(2,-2,0),

=(2,2,2).

因为·=(2,-2,0)·(2,2,2)=0,

所以⊥.

所以AC⊥BD.

(2)设n=(x,y,z)是平面BCD的法向量,

=(0,-4,0),

即

取z=-1,则n=(1,0,-1)是平面BCD的一个法向量.

由(1)知,AC⊥BD,

又AC⊥AB,AB∩BD=B,

所以AC⊥平面ABD.

所以=(2,-2,0)是平面ABD的一个法向量.

因为cos<n,>===,

所以<n,>=60°.

而<n,>等于二面角ABDC的平面角,

所以二面角ABDC的平面角大小为60°.

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：解答题