如图所示的某种容器的体积为90cm3，它是由圆锥和圆柱两部分连接而成，圆柱与圆锥的底面半径都为rcm．圆锥的高...
问题详情：
如图所示的某种容器的体积为90
cm3，它是由圆锥和圆柱两部分连接而成，圆柱与圆锥的底面半径都为r cm．圆锥的高为h1 cm，母线与底面所成的角为
；圆柱的高为
h2 cm．已知圆柱底面的造价为2a元/cm2，圆柱侧面造价为a元/cm2，圆锥侧面造价为
a元/cm2．
（1）将圆柱的高h2表示为底面半径r的函数，并求出定义域；
（2）当容器造价最低时，圆柱的底面半径r为多少？
【回答】
（1）解：因为圆锥的母线与底面所成的角为
，所以
，
圆锥的体积为
，圆柱的体积为
． …… 2分
因为
，所以
，
所以
． …… 4分
因为
，所以
．因此
．
所以
，定义域为
． …… 6分
（2）圆锥的侧面积
，
圆柱的侧面积
，底面积
． …… 8分
容器总造价为
． …… 10分
令
，则
．令
，得
．
当
时，
，
在
上为单调减函数；
当
时，
，
在
上为单调增函数．
因此，当且仅当时，有最小值，y有最小值90
元．…… 13分
所以，总造价最低时，圆柱底面的半径为3cm． …… 14分
知识点：点 直线 平面之间的位置
题型：解答题
