已知正四棱锥P-ABCD的所有顶点都在半径为1的球面上,当正四棱锥P-ABCD的体积最大时,该正四棱锥的高为 ...
问题详情:
已知正四棱锥P-ABCD的所有顶点都在半径为1的球面上,当正四棱锥P-ABCD的体积最大时,该正四棱锥的高为 .
【回答】
如图,球心O应位于正四棱锥的高PO1上,设正四棱锥的高PO1=h,
球的半径OC=1,在Rt△OO1C中,有12=O1C2+(h-1)2,所以O1C=,又AC=2O1C,所以AB2=4h-2h2,所以V四棱锥P-ABCD=×AB2×PO1=(4h-2h2)×h,令f(h)=(4h-2h2)×h,则由f'(h)=(8h-6h2)=0,得h=,此时正四棱锥P-ABCD的体积有最大值.
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:填空题