如图，在7×7网格中，每个小正方形边长都为1．建立适当的平面直角坐标系，使点A（3，4）、C（4，2）．（1）...

问题详情：

如图，在7×7网格中，每个小正方形边长都为1．建立适当的平面直角坐标系，使点A（3，4）、C（4，2）．

（1）判断△ABC的形状，并求图中格点△ABC的面积；

（2）在x轴上有一点P，使得PA+PC最小，则PA+PC的最小值为__________．

【回答】

（1）直角三角形，面积是5（2）

【分析】

（1）首先根据A和C的坐标确定坐标轴的位置，然后确定B的坐标，再利用勾股定理的逆定理即可作出判断，再根据直角三角形的面积公式即可求解；

（2）作点C关于x轴的对称点C′连接AC′交x轴与点P，连接PC，依据轴对称图形的*质可得到PC＝PC′，然后依据两点之间线段最短可知当点A，P，C′在一条直线上时，AP＋PC有最小值．

【详解】

（1）如图，建立直角坐标系，

∴B的坐标是（0，0）．

∵AC2＝22＋12＝5，BC2＝22＋42＝20，AB2＝42＋32＝25，

∴AC2＋BC2＝AB2，

∴△ABC是直角三角形，BC=，AC=

∴S△ABC=BC×AC=××=5；

（2）如图所示：作点C关于x轴的对称点C′连接AC′交x轴与点P，连接PC．

∵点C与点C′关于x轴对称，

∴PC＝PC′．

∴AP＋PC＝AP＋PC．

∴当A，P，C′在一条直线上时，AP＋PC有最小值，最小值为AC′的长．

∵AC′＝．

∴AP＋PC的最小值为．

故*为：．

【点睛】

本题主要考查的是轴对称路径最短问题、勾股定理的应用，勾股定理的逆定理的应用，明确点A，P，C′在一条直线上时，AP＋PC有最小值是解题的关键．

知识点：勾股定理

题型：解答题