已知抛物线,与x轴交于两点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.(Ⅰ)求点A,B和点C的坐标;(Ⅱ)已知...
问题详情:
已知抛物线,与x轴交于两点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
(Ⅰ)求点A,B和点C的坐标;
(Ⅱ)已知P是线段上的一个动点.
①若轴,交抛物线于点Q,当取最大值时,求点P的坐标;
②求的最小值.
【回答】
(Ⅰ)A,B,C;(Ⅱ)①;②
【分析】
(Ⅰ)令,代入抛物线解析式即可求出A、B的坐标,令从而得出C点坐标;
(Ⅱ)①设代入B、C坐标即可得出直线解析式,设,,则,且Q在P上方,分别表示出PQ,BP即可得出PQ+BP的表达式,对表达式进行*即可得出结果,②如图,延长至点D,使得,连接,作轴于点E,过点P作于点H,可*的是等腰直角三角形,由垂线段最短可知,当,,共线时取得最小值,根据题目已知条件得出D点坐标,表示出即可得出结果.
【详解】
解:(Ⅰ)令,则,解得,.
∴A点坐标为,B点坐标为.
令,则.
∴C点坐标为.
(Ⅱ)①设:,将,分别代入得,
,解得,故.
可设,,则,且Q在P上方.
所以.
又.
故.
当时取得最大值,此时.
②如图,延长至点D,使得,连接,作轴于点E,过点P作于点H.
由,,,
所以,.
则是等腰直角三角形,.
,由垂线段最短可知,当,,共线时取得最小值.
∵,
∵,
∴.
∴.
∴,.
可得点D的坐标为.
∴,
,代入可得,
解得,故有.
所以的最小值为.
【点睛】
本题主要考查的是二次函数与几何的综合应用,掌握二次函数的*质以及用*法求得最大值是解题的关键.
知识点:二次函数单元测试
题型:解答题