如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A在第一象限,点B在x轴的正半轴上,∠AOB=45°,线段OA,AB的...
问题详情：
如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A在第一象限,点B在x轴的正半轴上,∠AOB=45°,线段OA,AB的长满足|OA－
|＋(AB－
)2=0,点C在OA边上,将△OBC沿x轴折叠,使点C落在点D上,连接BC.
(Ⅰ)求∠A的度数;
(Ⅱ)当OC:OA=1:
时,求BD所在直线的解析式;
(Ⅲ)当OC:CA=1:2时,在平面内是否存在点N,使以点N,O,D,M(点M为坐标轴上一点)为顶点的四边形为正方形？若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
第5题图
【回答】
解:(Ⅰ)∵|OA－
|＋(AB－
)2=0,
∴OA－
=0,AB－
=0,
∴OA=
,AB=
,
如解图①,过点A作AM⊥x轴,垂足为M,
又∵∠AOB=45°,
∴△AOM为等腰直角三角形,
∴∠OAM=45°,
∴OM=AM=
OA=3,
∴MB=
=
,
∴MB=
AB,
∴∠MAB=30°,
∴∠OAB=∠OAM＋∠MAB=75°;
(Ⅱ)如解图②,连接CD交x轴于点N,
∵OC:OA=1:
,OA=
,
∴OC=
,
∵∠DON=∠CON=45°,
∴△COD为等腰直角三角形,
∴CN=ND=
,ON=
,
∴D(
,－
),
又∵OB=OM＋BM=3＋
,
设直线BD的解析式为y=kx＋b,
将B(3＋
,0),D(
,－
)代入得
,
解得
,
∴直线BD的解析式为y=
x－
－1;
(Ⅲ)满足条件的点N的坐标有4个,N点坐标为N(1,1),N(－1,－10,N(0,－1),N(1,0).
第5题解图
知识点：勾股定理
题型：解答题
