如图,在正方形ABCD中,E是BC边上的一点,BE=4,EC=8,将正方形边AB沿AE折叠到AF,延长EF交D...
问题详情:
如图,在正方形ABCD中,E是BC边上的一点,BE=4,EC=8,将正方形边AB沿AE折叠到AF,延长EF交DC于G,连接AG,现在有如下四个结论:①∠EAG=45°;②FG=FC;③FC∥AG;④S△GFC=14.其中结论正确的序号是_____.
【回答】
①③.
【解析】
【分析】
*∠GAF=∠GAD,∠EAB=∠EAF即可判断①.*DG=GC=FG,显然△GFC不是等边三角形,可得判断②.*CF⊥DF,AG⊥DF即可判断③.*FG:EG=3:5,求出△ECG的面积即可判断④.
【详解】
如图,连接DF.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD=BC=CD,∠ABE=∠BAD=∠ADG=∠ECG=90°,
由翻折可知:AB=AF,∠ABE=∠AFE=∠AFG=90°,BE=EF=4,∠BAE=∠EAF,
∵∠AFG=∠ADG=90°,AG=AG,AD=AF,
∴Rt△AGD≌Rt△AGF(HL),
∴DG=FG,∠GAF=∠GAD,设GD=GF=x,
∴∠EAG=∠EAF+∠GAF=(∠BAF+∠DAF)=45°,故①正确,
在Rt△ECG中,∵EG2=EC2+CG2,
∴(4+x)2=82+(12﹣x)2,
∴x=6,
∵CD=BC=BE+EC=12,
∴DG=CG=6,
∴FG=GC,
易知△GFC不是等边三角形,显然FG≠FC,故②错误,
∵GF=GD=GC,
∴∠DFC=90°,
∴CF⊥DF,
∵AD=AF,GD=GF,
∴AG⊥DF,
∴CF∥AG,故③正确,
∵S△ECG=×6×8=24,FG:FE=6:4=3:2,
∴FG:EG=3:5,
∴S△GFC=×24=,故④错误,
故*为:①③.
【点睛】
本题考查翻折变换,正方形的*质,全等三角形的判定和*质,勾股定理等知识,解题时常常设要求的线段长为x,然后根据折叠和轴对称的*质用含x的代数式表示其他线段的长度,选择适当的直角三角形,运用勾股定理列出方程求出*.
知识点:特殊的平行四边形
题型:填空题