如图，已知PC平分∠MPN，点O是PC上任意一点，PM与⊙O相切于点E，交PC于A、B两点．（1）求*：PN与...
问题详情：
如图，已知PC平分∠MPN，点O是PC上任意一点，PM与⊙O相切于点E，交PC于A、B两点．
（1）求*：PN与⊙O相切；
（2）如果∠MPC=30°，PE=2
，求劣弧
的长．
【回答】
【考点】切线的判定与*质；弧长的计算．
【分析】（1）连接OE，过O作OF⊥PN，如图所示，利用AAS得到三角形PEO与三角形PFO全等，利用全等三角形对应边相等得到=OE，即可确定出PN与圆O相切；
（2）在直角三角形POE中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出OE的长，∠EOB度数，利用弧长公式即可求出劣弧
的长．
【解答】（1）*：连接OE，过O作OF⊥PN，如图所示，
∵PM与圆O相切，
∴OE⊥PM，
∴∠OEP=∠OFP=90°，
∵PC平分∠MPN，
∴∠EPO=∠FPO，
在△PEO和△PFO中，
，
∴△PEO≌△PFO（AAS），
∴OF=OE，
则PN与圆O相切；
（2）在Rt△EPO中，∠MPC=30°，PE=2
，
∴∠EOP=60°，OE=2，
∴∠EOB=120°，
则
的长l=
=
．
【点评】此题考查了切线的判定与*质，弧长公式，熟练掌握切线的判定与*质是解本题的关键．
知识点：点和圆、直线和圆的位置关系
题型：解答题
