小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了*作、推理与拓展．（1）温故：如图1，在△ABC中，AD⊥BC...

问题详情：

小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了*作、推理与拓展．

（1）温故：如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，若BC＝6，AD＝4，求正方形PQMN的边长．

（2）*作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行*作：如图2，任意画△ABC，在AB上任取一点P'，画正方形P'Q'M'N'，使Q'，M'在BC边上，N'在△ABC内，连结BN'并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PPQMN．小波把线段BN称为“波利亚线”．

（3）推理：*图2中的四边形PQMN是正方形．

（4）拓展：在（2）的条件下，在*线BN上截取NE＝NM，连结EQ，EM（如图3）．当tan∠NBM＝时，猜想∠QEM的度数，并尝试*．

请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．

【回答】

【分析】（1）理由相似三角形的*质构建方程即可解决问题．

（2）根据题意画出图形即可．

（3）首先*四边形PQMN是矩形，再*MN＝PN即可．

（4）*△BQE∽△BEM，推出∠BEQ＝∠BME，由∠BME+∠EMN＝90°，可得∠BEQ+∠NEM＝90°，即可解决问题．

【解答】（1）解：如图1中，

∵PN∥BC，

∴△APN∽△ABC，

∴＝，即＝，

解得PN＝．

（2）能画出这样的正方形，如图2中，正方形PNMQ即为所求．

（3）*：如图2中，

由画图可知：∠QMN＝∠PQM＝∠NPQ＝∠BM′N′＝90°，

∴四边形PNMQ是矩形，MN∥M′N′，

∴△BN′M′∽△BNM，

∴＝，

同理可得：＝，

∴＝，

∵M′N′＝P′N′，

∴MN＝PN，

∴四边形PQMN是正方形．

（4）解：如图3中，结论：∠QEM＝90°．

理由：由tan∠NBM＝＝，可以假设MN＝3k，BM＝4k，则BN＝5k，BQ＝k，BE＝2k，

∴＝＝，＝＝，

∴＝，

∵∠QBE＝∠EBM，

∴△BQE∽△BEM，

∴∠BEQ＝∠BME，

∵NE＝NM，

∴∠NEM＝∠NME，

∵∠BME+∠EMN＝90°，

∴∠BEQ+∠NEM＝90°，

∴∠QEM＝90°．

【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的*质和判定，相似三角形的判定和*质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．

知识点：各地中考

题型：综合题