已知(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,求sinβ的值.
问题详情:
已知
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,求sinβ的值.
【回答】
【考点】GH:同角三角函数基本关系的运用.
【分析】(Ⅰ)易求tanα=﹣,将所求关系式弦化切即可;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知tanα=﹣,α∈(,π)且sinα=,cosα=﹣,依题意易求sin(2β+α)的值,从而可求得cos2β,利用二倍角的余弦即可求得sinβ的值.
【解答】解:(Ⅰ)∵ =﹣,
∴3tanα=tanα﹣1,
∴tanα=﹣;
∴===5;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知tanα=﹣,又α∈(0,π),
∴α∈(,π)且sinα=,cosα=﹣;
∵β∈(0,),
∴2β+α∈(,2π),
∵cos(2β+α)=,
∴sin(2β+α)=﹣,
∴cos2β=cos(2β+α﹣α)
=cos(2β+α)cosα+sin(2β+α)sinα
=×(﹣)+(﹣)×=﹣,
∴cos2β=1﹣2sin2β=﹣,β∈(0,),
∴sinβ=.
知识点:三角恒等变换
题型:解答题