在任意n（n＞1且为整数）位正整数K的首位后添加6得到的新数叫做K的“顺数”，在K的末位前添加6得到的新数叫做...

问题详情：

在任意n（n＞1且为整数）位正整数K的首位后添加6得到的新数叫做K的“顺数”，在K的末位前添加6得到的新数叫做K的“逆数”．若K的“顺数”与“逆数”之差能被17整除，称K是“最佳拍档数”．比如1324的“顺数”为16324，1324的“逆数”为13264，1324的“顺数”与“逆数”之差为16324﹣13264＝3060，3060÷17＝180，所以1324是“最佳拍档数”．

（1）请根据以上方法判断31568　   　（填“是”或“不是”）“最佳拍档数”；若一个首位是5的四位“最佳拍档数”N，其个位数字与十位数字之和为8，且百位数字不小于十位数字，求所有符合条件的N的值．

（2）*：任意三位或三位以上的正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除．

【回答】

（1）解：31568的“顺数”为361568，31568的“逆数”为315668，31568的“顺数”与“逆数”之差为361568﹣315668＝45900，45900÷17＝2700，所以31568是“最佳拍档数”；

设“最佳拍档数”N的十位数字为x，百位数字为y，则个位数字为8﹣x，y≥x，

N＝5000+100y+10x+8﹣x＝100y+9x+5008，

∵N是四位“最佳拍档数”，

∴50000+6000+100y+10x+8﹣x﹣[50000+1000y+100x+60+8﹣x]，

＝6000+100y+9x+8﹣1000y﹣100x﹣68+x，

＝5940﹣90x﹣900y，

＝90（66﹣x﹣10y），

∴66﹣x﹣10y能被17整除，

①x＝2，y＝3时，66﹣x﹣10y＝34，能被17整除，此时N为5326；

②x＝3，y＝8时，66﹣x﹣10y＝﹣17，能被17整除，此时N为5835；

③x＝5，y＝1时，66﹣x﹣10y＝51，能被17整除，但x＞y，不符合题意；

④x＝6，y＝6时，66﹣x﹣10y＝0，能被17整除，此时N为5662；

⑤x＝8，y＝3时，66﹣x﹣10y＝28，不能被17整除，但x＞y，不符合题意；

⑥当x＝9，y＝4时，66﹣x﹣10y＝17，能被17整除，但x＞y，不符合题意；

综上，所有符合条件的N的值为5326，5835，5662；

故*为：是；

（2）*：设三位正整数K的个位数字为x，十位数字为y，百位数字为z，

它的“顺数”：1000z+600+10y+x，

它的“逆数”：1000z+100y+60+x，

∴（1000z+600+10y+x）﹣（1000z+100y+60+x）＝540﹣90y＝90（6﹣y），

∴任意三位正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除，

设四位正整数K的个位数字为x，十位数字为y，百位数字为z，千位数字为a，

∴（10000a+6000+100z+10y+x）﹣（10000a+1000z+100y+60+x）＝5940﹣900z﹣90y＝90（66﹣10z﹣y），

∴任意四位正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除，

同理得：任意三位或三位以上的正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除．

【点评】本题主要考查了“顺数”、“逆数”、“最佳拍档数”的定义及应用，熟练掌握几位数的表示方法，理解新定义，计算“顺数”与“逆数”之差，分解因式是解题的关键．

知识点：实际问题与一元一次方程

题型：解答题