已知数列是公差为的等差数列.在的每相邻两项之间*入这两项的算术平均数,得到新数列,这样的*作叫做该数列的1次“...
问题详情:
已知数列是公差为的等差数列.在的每相邻两项之间*入这两项的算术
平均数,得到新数列,这样的*作叫做该数列的1次“”扩展.连续次“”
扩展,得到新数列.例如:数列1,2,3第1次“”扩展后得到数列1,,
2,,3;第2次“”扩展后得到数列1,,,,2,,,,3.
(1)求*:为等差数列,并求其公差;
(2)已知等差数列共有项,且.若的所有项的和为,求使成立的的取值*.
【回答】
(1)*:① 当时,与的算术平均数为,
则为常数,
所以当时,数列为等差数列,且公差. …… 2分
② 假设当时,数列为等差数列,且公差,
则当时,
数列中相邻两项与的算术平均数为,
由,
知数列中任意相邻两项的差为常数,
所以当时,数列为等差数列,且公差.
由①②可知,为等差数列,且公差. …… 5分
(2)解:(方法一)由已知可知,设数列的项数为,
则,且,
所以,
所以,即.
所以
. …… 7分
则.
令,
则.
由可知,,,
所以,所以在上单调递增.
又因为,
所以使成立的的*为. …… 10分
(方法二)
同上可得,
令,
则
,
则单调递增,以下同上. …… 10分
知识点:数列
题型:解答题