已知数列各项为正数,且对任意,都有.(1)若,,成等差数列,求的值;(2)①求*:数列为等比数列;②若对任意,...
问题详情:
已知数列各项为正数,且对任意,都有.
(1)若,,成等差数列,求的值;
(2)①求*:数列为等比数列;
②若对任意,都有,求数列的公比的取值范围.
【回答】
【详解】解:(1)因为,所以,因此,,成等比数列.
设公比为,因为,,成等差数列,
所以,即,于是,解得或,
所以或.
(2)①因为,所以,
两式相除得,即,
由,得,
两式相除得,即,
所以,即,,,
由(1)知,所以,,
因此数列为等比数列.
②当时,
由时,可得,所以,
因此,
所以满足条件.
当时,
由,得,
整理得.
因为,,所以,
因此,即,
由于,因此,与任意恒成立相矛盾,
所以不满足条件.
综上,公比的取值范围为.
【点睛】本题主要考查等差数列的*质和等比数列的*,考查数列的求和数列不等式的恒成立问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
知识点:数列
题型:解答题