设F是椭圆＋＝1(a＞0，且a≠2)的一焦点，长为3的线段AB的两个端点在椭圆上移动．则当AF·BF取得最大值...

问题详情：

设F是椭圆＋＝1(a＞0，且a≠2)的一焦点，长为3的线段AB的两个端点在椭圆上移动．则当AF·BF取得最大值时，a的值是       ．

【回答】

 或．

【分析】当a＞2时，设椭圆的另外一个焦点为F′，联结AF′，BF′．

则AF′＋BF′≥|AB|＝3．故AF＋BF＝4a－(AF′＋BF′)≤4 a－3．

所以AF·BF≤()2≤()2．当且仅当线段AB过点F′，且AF＝BF＝时，

上式等号成立，此时，AB⊥x轴，且AB过点F′．于是

4c2＝|FF′|2＝()2－()2＝4a2－6a，即c2＝a2－a．

则a2＝4＋(a2－a)，得a＝．类似地，当0＜a＜2时，可得a＝．

知识点：圆锥曲线与方程

题型：填空题