如图，四边形ABCD中，AC、BD是它的对角线，∠ABC=∠ADC=90°，∠BCD是锐角．（1）若BD=BC...

问题详情：

如图，四边形ABCD中，AC、BD是它的对角线，∠ABC=∠ADC=90°，∠BCD是锐角．

（1）若BD=BC，*：sin∠BCD=．

（2）若AB=BC=4，AD+CD=6，求的值．

（3）若BD=CD，AB=6，BC=8，求sin∠BCD的值．

（注：本题可根据需要自己画图并解答）

【回答】

【解答】解：（1）如图1中，过点B作AD的垂线BE交DA的延长线于点E，

∵∠ABC=∠ADC=90°，

∴∠ADC+∠ABC=180°，

∴四边形ABCD四点共圆，

∴∠BDE=∠ACB，∠EAB=∠BCD，

∵∠BED=∠ABC=90°，

∴△BED∽△ABC，

∴==sin∠EAB=sin∠BCD；

（2）如图2中，过点B作BF⊥BD交DC的延长线于F．

∵∠ABC=∠DBF=90°，∠BAD+∠BCD+∠ABC+∠ADC=360°，∠ABC+∠ADC=180°，

∴∠BAD=180°﹣∠BCD=∠BCF，

∵∠BCF=∠BAD，BC=BA，

∴△DAB≌△CBF，

∴BD=BF，AD=CF，

∵∠DBF=90°，

∴△BDF是等腰直角三角形，

∴BD=DF，

∵AD+CD=6，

∴CF+CD=DF=6，

∴BD=3，AC==4，

∴==．

（3）当BD=CD时，如图3中，过点B作MN∥DC，过点C作CN⊥MN，垂足为N，延长DA交MN于点M，则四边形DCNM是矩形，△ABM∽△BCN，

∴===，

设AM=6y，BN=8y，BM=6x，CN=8x，

在Rt△BDM中，BD==10x，

∵BD=DC，

∴10x=6x+8y，

∴x=2y，

在Rt△DABM中，AB==6y，

∴sin∠BCD=sin∠MAB===．

知识点：相似三角形

题型：解答题