已知PABC是正三棱锥，其外接球O的表面积为16π，且∠APO＝∠BPO＝∠CPO＝30°，则三棱锥的体积为 ...

问题详情：

已知PABC是正三棱锥，其外接球O的表面积为16π，且∠APO＝∠BPO＝∠CPO

＝30°，则三棱锥的体积为    ．

【回答】

【解析】设球的半径为R，△ABC的外接圆圆心为O′，则由球的表面积为16π，

可知4πR2＝16π，所以R＝2.设△ABC的边长为2a，

因为∠APO＝∠BPO＝∠CPO＝30°，OB＝OP＝2，

所以BO′＝R＝，OO′＝＝1，

PO′＝OO′＋OP＝3.在△ABC中，O′B＝××2a＝，

所以a＝，所以三棱锥PABC的体积为V＝××32×sin60°×3＝.

知识点：球面上的几何

题型：填空题