如图抛物线y=―x2+bx+c与直线AB交于A(―4,―4),B(0,4)两点,直线AC:y=―x―6交y轴与...
问题详情:
如图抛物线y=―x2+bx+c与直线AB交于A(―4,―4),B(0,4)两点,直线AC:y=―x―6交y轴与点C,点E是直线AB上的动点,过点E作EF⊥x轴交AC于点F,交抛物线于点G.
(1)求抛物线的表达式;
(2)连接GB,EO,当四边形GEOB是平行四边形时,求点G的坐标;
(3) 在⑵的前提下,y轴上是否存在一点H,使∠AHF=∠AEF?如果存在,求出此时点H的坐标,如果不存在,请说明理由.
【回答】
(1)∵点A(﹣4,﹣4),B(0,4)在抛物线y=﹣x2+bx+c上,
∴ ,
∴ ,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+4; 2分
(2)设直线AB的解析式为y=kx+n过点A,B,
∴ , ∴ ,
∴直线AB的解析式为y=2x+4,
设E(m,2m+4),则G为(m,―m2―2m+4)
∵四边形GEOB是平行四边形,
∴EG=OB=4,
∴―m2―2m+4―2m―4=4,
∴m=―2,
∴G(―2,4) 6分
⑶存在存在点H满足题意,设点H为(0,y)
由⑵知,E(―2,0),F(―2,―5),
得EF中点M坐标为(―2,―2.5),
∵AB2+AC2=100,BC2=100,即AB2+AC2= BC2
∴AB⊥AC
∴点M为△AEF外接圆的圆心,
∵∠AHF=∠AEF
∴点H在⊙M上,[来源:学+科+网]
∴MH=EM
∴ 22+(y+2.5)2=2.52
∴y1=―1,y2=―4,
∴当点H坐标为(0,―1)或(0,―4)时∠AHF=∠AEF. 10分[来源:学科网ZXXK]
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:综合题