已知，点P是△ABC边AB上一动点（不与A，B重合）分别过点A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q...

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问题详情：

已知，点P是△ABC边AB上一动点（不与A，B重合）分别过点A，B向直

线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为边AB的中点.

（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF

的数量关系是；

（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，

并给予*；

（3）如图3，当点P在线段BA的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？

请画出图形并给予*.

【回答】

解：(1)AE∥BF，QE＝QF，理由是：∵Q为AB中点，∴AQ＝BQ，∵BF⊥CP，AE⊥CP，

∴BF∥AE，∠BFQ＝∠AEQ，在△BFQ和△AEQ中∴△BFQ≌△AEQ(AAS)，∴QE＝QF，

故AE∥BF，QE＝QF．

(2)QE＝QF，*：延长FQ交AE于D，∵AE∥BF，∴∠QAD＝∠FBQ，在△FBQ和△DAQ中

∴△FBQ≌△DAQ(ASA)，∴QF＝QD，∵AE⊥CP，∴EQ是直角三角形DEF斜边上的中线，

∴QE＝QF＝QD，即QE＝QF．

(3)(2)中的结论仍然成立，*：延长EQ、FB交于D，可*△AQE≌△BQD(AAS)，

∴QE＝QD，∵BF⊥CP，∴FQ是斜边DE上的中线，∴QE＝QF．

知识点：三角形全等的判定

题型：综合题

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