《什么是数学》经典语录

上帝创造了自然数，其余的是人的工作。

拉普拉斯：“莱布尼茨在他的二进位算术中看到了宇宙创始的原像，他想象1表示上帝，而0表示虚无，上帝从虚无中创造出所有实物，恰如在他的数学系统中用1和0表示了所有的数。”

对于科学方法来说，重要的是应放弃形而上学*质的因素，而去考虑那些可观测的事实，把它们作为概念和构作的最终根源。

但是许多语言中，从数目字上来看，显示出曾用过其他基底的遗迹，特别是十二和二十.

习题：考虑以a为基底表示整数的问题.为了在这个系统中叫出一个数的名字，我们需要对数字0，1，…，a-1，和a的各幂次：a，a²，a³，…给出数字的名称。对a=2，3，…，15，若给零到一千的数字起名字，需要多少个不同的数字的名称?哪一种基底要求的数字名称最少?(例如a=10，我们需要对十个数字给出名称，再加上10，100，1000这三个，一共有13个;例如，a=20，我们需要对二十个数字给出名称，再加上20，400，一共22个，对a=100，我们需要100个数字再加上一个.)

我们抛弃了朴素的实在的方法，即把一个数学对象看成我们谨慎的研究其*质的“自在之物”，而认为数学对象之所以存在，只在于他们的数学*质以及他们之间的相互关系。这些关系和*质完全给出了这个对象进入数学活动的领域的各个可能方面。我们放弃了数学上的自在之物，如同物理上放弃了观测不到的以太一样。这就是把一个无理数定义为有理端点区间套的本质所在。

素数的重要*在于这一事实:每一个整数都能表示为素数的乘积.如果一个数本身不是素数,那么可以不断对它进行因子分解,直到所有的因子都是素数为止

某些近代数学教科书一开始就用一个对实数系统卖弄学问似的完整分析使许多学生念不下去，而把这部分引论弃之不顾的读者，在了解到如下事实后是可以得到安慰的：迟至十九世纪后期，所有伟大的数学家在作出他们的发现时，都是基于他们对这个数系直觉上的朴素概念。

在法文中20和80的写法是“廿”（vingt）和“四-廿”（quatre-vingt），这可能由于某种目的曾用过一个以20为基底的系统.

虽然希腊人曾经把点和线等几何概念作为他们的数学基础，但是，所有的数学命题最终应归结为关于自然数1，2，3，...的命题，这一点已变成了现代的指导原则。“上帝创造了自然数，其余的是人的工作。”在这句话中，克隆尼克指出了建立数学结构稳固基础的条件。

在纯粹数学和具有活力的应用之间产生了这种不幸的分离（可能在批判*的审查时期，这是不可避免的）之后，随之而来的应是一个精密结合 的时代，这种重新获得的内在力量，更主要的是由于理解更加明晰而达到认识上的极大简化

对于科学方法来说，重要的是应放弃形而上学*质的因素，而去考虑那些可观测的事实，把它们作为概念和构作的最终根源，放弃对“自在之物”的领悟，对“终极真理”的认识以及关于世界的最终本质的阐明，这对于质朴的热诚者来说，可能会带来一种心理上的痛苦，但事实上它却是近代思想上最有成效的一种转变。