定義在R上的單調函數f(x)滿足f(3)＝log23且對任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y).(...

問題詳情：

定義在R上的單調函數f(x)滿足f(3)＝log23且對任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y).

(1)判斷函數f(x)的奇偶*，並*；

(2)若f(k·3x)＋f(3x－9x－2)＜0對任意x∈R恆成立，求實數k的取值範圍.

【回答】

(1)函數f(x)是奇函數，

∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)(x，y∈R)，①

令x＝y＝0，代入①式，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，

即f(0)＝0.

令y＝－x，代入①式，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，

又f(0)＝0，

則有0＝f(x)＋f(－x)，即f(－x)＝－f(x)對任意x∈R成立.

∴f(x)是奇函數.

(2)f(3)＝log23＞0，即f(3)＞f(0)，

又f(x)在R上是單調函數，

∴f(x)在R上是增函數，又由(1)，f(x)是奇函數，可知f(k·3x)＜－f(3x－9x－2)＝f(9x－3x＋2)，

∴k·3x＜9x－3x＋2對任意x∈R恆成立，

∴k＜3x＋－1對任意x∈R恆成立，

而3x＋≥2(當且僅當3x＝時等號成立)，

∴k＜2－1，

綜上所述k＜2－1時f(k·3x)＋f(3x－9x－2)＜0對任意x∈R恆成立.

知識點：*與函數的概念

題型：解答題