已知圓,直線.(1)求直線所過定點的座標;(2)求直線被圓所截得的弦長最短時的值及最短弦長.(3)已知點,在直...
問題詳情:
已知圓,直線.
(1)求直線所過定點的座標;
(2)求直線被圓所截得的弦長最短時的值及最短弦長.
(3)已知點,在直線上(爲圓心),存在定點(異於點),滿足:對於圓上任一點,都有爲一常數,試求所有滿足條件的點的座標及該常數.
【回答】
.解:(1)依題意得,,
令,且,得,,∴直線過定點.
(2)當時,所截得弦長最短,由題知,.
∴,得,∴由得.
∴圓心到直線的距離爲.
∴最短弦長爲.
(3)法一:由題知,直線的方程爲,假設存在定點滿足題意,
則設,,得,且,
∴,
∴,
整理得:,
∵上式對任意恆成立,
∴且,
解得,或,(捨去,與重合),
綜上可知,在直線上存在定點,使得爲常數.
法二:設直線上的點.
取直線與圓的交點,則,
取直線與圓的交點,則,
令,解得或(捨去,與重合),此時,
若存在這樣的定點滿足題意,則必爲.
下*:點滿足題意,
設圓上任意一點,則,
∴,
∴.
綜上可知,在直線上存在定點,使得爲常數.
知識點:圓與方程
題型:解答題