數列{an}的前n項和為Sn，且an是Sn和1的等差中項，等差數列{bn}滿足b1＝a1，b4＝S3.(1)求...

問題詳情：

數列{an}的前n項和為Sn，且an是Sn和1的等差中項，等差數列{bn}滿足b1＝a1，b4＝S3.

(1)求數列{an}，{bn}的通項公式；

(2)設cn＝，數列{cn}的前n項和為Tn，*：≤Tn＜.

【回答】

 (1)解：∵an是Sn和1的等差中項，∴Sn＝2an－1………………1分

當n＝1時，a1＝S1＝2a1－1，∴a1＝1；…………………….2分

當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)＝2an－2an－1，∴an＝2an－1，即＝2，

∴數列{an}是以a1＝1為首項，2為公比的等比數列，

∴an＝2n－1，……………………………………………………4分

設{bn}的公差為d，b1＝a1＝1，b4＝a1+a2=a3=1＋3d＝7，∴d＝2，

∴bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1…………………………6分

(2)*：cn＝＝

＝，………………………………..7分

∴Tn＝

＝＝，………………………………..9分

∵n∈N*，∴Tn＝＜…………………..10分

Tn－Tn－1＝－＝＞0，

∴數列{Tn}是一個遞增數列，∴Tn≥T1＝…………………11分

綜上所述，≤Tn＜………………………………………12分

知識點：數列

題型：解答題