已知數列{an}的前n項和Sn=3n2+8n，{bn}是等差數列，且an=bn+bn+1．（Ⅰ）求數列{an}...

問題詳情：

已知數列{an}的前n項和Sn=3n2+8n，{bn}是等差數列，且an=bn+bn+1．

（Ⅰ）求數列{an}，{bn}的通項公式；

（Ⅱ）令cn=，求數列{cn}的前n項和Tn．

【回答】

【考點】8E：數列的求和；8H：數列遞推式．

【分析】（I）數列{an}的前n項和Sn=3n2+8n，可得：n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1，n=1時，a1=S1=11，對於上式也成立．可得an．根據{bn}是等差數列，設公差為d，且an=bn+bn+1．n分別取1，2．可得2b1+d=11，2b1+3d=17，解出即可得出．

（Ⅱ）令cn==（n+1）•2n，利用錯位相減法與等比數列的求和公式即可得出．

【解答】解：（I）數列{an}的前n項和Sn=3n2+8n，

可得：n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=3n2+8n﹣3（n﹣1）2﹣8（n﹣1）=6n+5，

n=1時，a1=S1=11，對於上式也成立．

∴an=6n+5．

∵{bn}是等差數列，設公差為d，且an=bn+bn+1．

n分別取1，2．

∴2b1+d=11，2b1+3d=17，

解得b1=4，d=3．

∴bn=4+3（n﹣1）=3n+1．

（Ⅱ）令cn==（n+1）•2n，

∴數列{cn}的前n項和Tn=2×2+3×22+4×23+…+（n+1）•2n，

2Tn=2×22+3×23+…+n•2n+（n+1）•2n+1，

∴﹣Tn=2×2+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1=2+﹣（n+1）•2n+1，

可得：Tn=n•2n+1．

知識點：數列

題型：解答題