已知橢圓C：（）的離心率為，短軸長為4.（1）求橢圓方程；（2）過作弦且弦被P平分，求此弦所在的直線方程及弦長...
問題詳情：
已知橢圓C：
（
）的離心率為
，短軸長為4.
（1）求橢圓方程；
（2）過
作弦且弦被P平分，求此弦所在的直線方程及弦長.
【回答】
（1）
（2）直線方程為
，弦長為
【分析】
（1）由已知資訊，待定係數即可求解橢圓方程；
（2）設出交點座標，由點差法，即可求得直線斜率，再求弦長.
【詳解】
（1）由橢圓的離心率可得：
，
根據短軸長可得：
，
，
設
，
，
，所以
，
所以橢圓方程為
.
（2）設以點
為中點的弦與橢圓交於
，
，
則
，則
，
分別代入橢圓的方程得，
，
，兩式相減可得
，所以
，
故以點
為中點的弦所在直線方程為
；
由
，得
，
所以
，
；
，
，
所以
.
故該直線截橢圓所得弦長為
.
【點睛】
本題考查橢圓方程的求解，以及橢圓中的中點弦問題，涉及弦長的求解，屬綜合中檔題.
知識點：圓錐曲線與方程
題型：解答題
