問題:如圖①,在Rt△ABC中,AB=AC,D為BC邊上一點(不與點B,C重合),將線段AD繞點A逆時針旋轉9...
問題詳情:
問題:如圖①,在Rt△ABC中,AB=AC,D為BC邊上一點(不與點B,C重合),將線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE,連線EC,則線段BC,DC,EC之間滿足的等量關係式為 ;
探索:如圖②,在Rt△ABC與Rt△ADE中,AB=AC,AD=AE,將△ADE繞點A旋轉,使點D落在BC邊上,試探索線段AD,BD,CD之間滿足的等量關係,並*你的結論;
應用:如圖③,在四邊形ABCD中,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°.若BD=9,CD=3,求AD的長.
【回答】
解:(1)BC=DC+EC,
理由如下:∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC,即∠BAD=∠CAE,
在△BAD和△CAE中,
,
∴△BAD≌△CAE,
∴BD=CE,
∴BC=BD+CD=EC+CD,
故*為:BC=DC+EC;
(2)BD2+CD2=2AD2,
理由如下:連線CE,
由(1)得,△BAD≌△CAE,
∴BD=CE,∠ACE=∠B,
∴∠DCE=90°,
∴CE2+CD2=ED2,
在Rt△ADE中,AD2+AE2=ED2,又AD=AE,
∴BD2+CD2=2AD2;
(3)作AE⊥AD,使AE=AD,連線CE,DE,
∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,
即∠BAD=∠CAE,
在△BAD與△CAE中,
,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴BD=CE=9,
∵∠ADC=45°,∠EDA=45°,
∴∠EDC=90°,
∴DE==6,
∵∠DAE=90°,
∴AD=AE=DE=6.
【點評】本題考查的是全等三角形的判定和*質、勾股定理、以及旋轉變換的*質,掌握全等三角形的判定定理和*質定理是解題的關鍵.
知識點:勾股定理
題型:解答題