如圖所示,在直三稜柱中,,D為AC的中點.(Ⅰ)求*:(Ⅱ)若,求*:;(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下, 求二面角B-...
問題詳情:
如圖所示,在直三稜柱中,,D為AC的中點.
(Ⅰ)求*:
(Ⅱ)若,求*:;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下, 求二面角B-A1C1-D的大小.
【回答】
解:(Ⅰ) 連結AB1交A1B於E,連ED.
∵ABC-A1B1C1是直三稜柱中,且AB=BBl,
∴側面ABB1A1是一正方形.
∵E是AB1的中點.又已知D為AC的中點.
∴在△AB1C中,ED是中位線.
∴B1C//ED.
∴B1C∥平面A1BD.
(Ⅱ) ∵ AC1⊥平面A1BD,∴AC1⊥A1B.
又∵側面ABB1A1是一正方形,∴A1B⊥AB1.
∴A1B⊥平面AB1C1.∴A1B⊥B1C1.
又∵ABC-A1B1C1是直三稜柱,∴BB1⊥B1C1.
∴BlCl⊥平面ABB1A1
(Ⅲ) ∵AB=BC,D為AC的中點,
∴BD⊥AC.∴BD⊥平面DC1A1.
∴BD就是三稜錐B-A1C1D的高.
由(Ⅱ)知 BlCl⊥平面ABBlAl,∴BC⊥平面ABBlAl.
∴BC⊥AB.以BA、BC、BB1分別為軸、軸、軸建立空間直角座標系.
不妨設 AB=BC=BB1=1,則顯然B、D、A1、C1各點的座標分別是
B(0,0,0),D(,,0) , A1(1,0,1),C1(0,1,1).
∴(1,0,1), =(0,1,1),(,,0).
顯然,就是平面A1C1D的法向量.
設平面BA1C1 的法向量為,則,
∴・(1,0,1)=0,・(0,1,1)=0
∴. 令,則=(1,1,-1)
設與 所成的角為,則.
由圖形可知二面角B-A1C1-D的平面角為鋭角,
∴二面角B-A1C1-D的大小為.
知識點:點 直線 平面之間的位置
題型:計算題