如圖，⊙O中，AB是⊙O的直徑，G為弦AE的中點，連接OG並延長交⊙O於點D，連接BD交AE於點F，延長AE至...

問題詳情：

如圖，⊙O中，AB是⊙O的直徑，G為弦AE的中點，連接OG並延長交⊙O於點D，連接BD交AE於點F，延長AE至點C，使得FC=BC，連接BC．

(1)求*：BC是⊙O的切線；

(2)⊙O的半徑為5，tanA=，求FD的長．

【回答】

（1）*見解析（2）

【解析】

（1）由點G是AE的中點，根據垂徑定理可知OD⊥AE，由等腰三角形的*質可得∠CBF=∠DFG，∠D=∠OBD，從而∠OBD+∠CBF=90°，從而可*結論；

（2）連接AD，解Rt△OAG可求出OG=3，AG=4，進而可求出DG的長，再*△DAG∽△FDG，由相似三角形的*質求出FG的長，再由勾股定理即可求出FD的長.

【詳解】

（1）∵點G是AE的中點，

∴OD⊥AE，

∵FC=BC，

∴∠CBF=∠CFB，

∵∠CFB=∠DFG，

∴∠CBF=∠DFG

∵OB=OD，

∴∠D=∠OBD，

∵∠D+∠DFG=90°，

∴∠OBD+∠CBF=90°

即∠ABC=90°

∵OB是⊙O的半徑，

∴BC是⊙O的切線；

（2）連接AD，

∵OA=5，tanA=，

∴OG=3，AG=4，

∴DG=OD﹣OG=2，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADF=90°，

∵∠DAG+∠ADG=90°，∠ADG+∠FDG=90°

∴∠DAG=∠FDG，

∴△DAG∽△FDG，

∴，

∴DG2=AG•FG，

∴4=4FG，

∴FG=1

∴由勾股定理可知：FD=.

【點睛】

本題考查了垂徑定理，等腰三角形的*質，切線的判定，解直角三角形，相似三角形的判定與*質，勾股定理等知識，求出∠CBF=∠DFG，∠D=∠OBD是解（1）的關鍵，**△DAG∽△FDG是解（2）的關鍵.

知識點：圓的有關*質

題型：解答題