在平面直角座標系xOy中，規定：拋物線y=a（x﹣h）2+k的伴隨直線為y=a（x﹣h）+k．例如：拋物線y=...

問題詳情：

在平面直角座標系xOy中，規定：拋物線y=a（x﹣h）2+k的伴隨直線為y=a（x﹣h）+k．例如：拋物線y=2（x+1）2﹣3的伴隨直線為y=2（x+1）﹣3，即y=2x﹣1．

(1)在上面規定下，拋物線y=（x+1）2﹣4的頂點座標為　     　，伴隨直線為　     　，拋物線y=（x+1）2﹣4與其伴隨直線的交點座標為　    　和　      　；

(2)如圖，頂點在第一象限的拋物線y=m（x﹣1）2﹣4m與其伴隨直線相交於點A，B（點A在點B的左側），與x軸交於點C，D．

①若∠CAB=90°，求m的值；

②如果點P（x，y）是直線BC上方拋物線上的一個動點，△PBC的面積記為S，當S取得最大值時，求m的值.

【回答】

解：

(1)∵y=（x+1）2﹣4，

∴頂點座標為（﹣1，﹣4），

由伴隨直線的定義可得其伴隨直線為y=（x+1）﹣4，即y=x﹣3，

聯立拋物線與伴隨直線的解析式可得，解得或，

∴其交點座標為（0，﹣3）和（﹣1，﹣4），

故*為：（﹣1，﹣4）；y=x﹣3；（0，﹣3）；（﹣1，﹣4）；

(2)①∵拋物線解析式為y=m（x﹣1）2﹣4m，

∴其伴隨直線為y=m（x﹣1）﹣4m，即y=mx﹣5m，

聯立拋物線與伴隨直線的解析式可得，解得或，

∴A（1，﹣4m），B（2，﹣3m），

在y=m（x﹣1）2﹣4m中，令y=0可解得x=﹣1或x=3，

∴C（﹣1，0），D（3，0），

∴AC2=4+16m2，AB2=1+m2，BC2=9+9m2，

∵∠CAB=90°，

∴AC2+AB2=BC2，即4+16m2+1+m2=9+9m2，解得m=（拋物線開口向下，捨去）或m=﹣，

∴當∠CAB=90°時，m的值為﹣；

②設直線BC的解析式為y=kx+b，

∵B（2，﹣3m），C（﹣1，0），

∴，解得，

∴直線BC解析式為y=﹣mx﹣m，

過P作x軸的垂線交BC於點Q，如圖，

∵點P的橫座標為x，

∴P（x，m（x﹣1）2﹣4m），Q（x，﹣mx﹣m），

∵P是直線BC上方拋物線上的一個動點，

∴PQ=m（x﹣1）2﹣4m+mx+m=m（x2﹣x﹣2）=m[（x﹣）2﹣]，

∴S△PBC=×[（2﹣（﹣1）]PQ=（x﹣）2﹣m，

∴當x=時，△PBC的面積有最大值﹣m，

∴S取得最大值時，即﹣m=，解得m=﹣2．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題