如圖，拋物線y=a（x﹣1）（x﹣4）與x軸相交於點A、B（點A在點B的左側），與x軸相交於點C，點D在線段C...

問題詳情：

如圖，拋物線y=a（x﹣1）（x﹣4）與x軸相交於點A、B（點A在點B的左側），與x軸相交於點C，點D在線段CB上（點D不與B、C重合），過點D作CA的平行線，與拋物線相交於點E，直線BC的解析式為y=kx+2．

（1）拋物線的解析式為　   　；

（2）求線段DE的最大值；

（3）當點D為BC的中點時，判斷四邊形CAED的形狀，並加以*．

【回答】

【考點】HF：二次函數綜合題．

【分析】（1）先利用一次函數解析式確定C（0，2），然後把C點座標代入y=a（x﹣1）（x﹣4）中求出a即可；

（2）如圖1，過點D、E分別作y軸、x軸的平行線，兩線相交於點F，先解方程（x﹣1）（x﹣4）=0得A（1，0），B（4，0），再利用待定係數法求出直線BC的解析式為y=﹣x+2，設E（m， m2﹣m+2），EF=n，則D（m﹣n，﹣ m+n+2），則DF=﹣m+n+2﹣（m2﹣m+2）=﹣m2+2m+n，接着*Rt△OCA∽Rt△FDE，利用相似比得到=2，則﹣m2+2m+n=2n，所以n=﹣m2+m，利用勾股定理得DE=﹣m2+m，然後根據二次函數的*質解決問題；

（3）利用兩點間的距離公式得到AC=，BC=2，再利用點D為BC的中點得到D（2，1），CD=，易得直線AC的解析式為y=﹣2x+2，接着求出直線DE的解析式為y=﹣2x+5，

於是解方程組得E（3，﹣1），所以DE=，然後根據菱形的判定方法可判斷四邊形CAED為菱形．

【解答】解：（1）當x=0時，y=kx+2=2，則C（0，2），

把C（0，2）代入y=a（x﹣1）（x﹣4）得a•（﹣1）•（﹣4）=2，解得a=，

∴拋物線解析式為y=（x﹣1）（x﹣4），即y=x2﹣x+2；

故*為y=x2﹣x+2；

（2）如圖1，過點D、E分別作y軸、x軸的平行線，兩線相交於點F，

當y=0時，（x﹣1）（x﹣4）=0，解得x1=1，x2=4，則A（1，0），B（4，0），

設直線BC的解析式為y=kx+b，

把C（0，2），B（4，0）代入得，解得，

∴直線BC的解析式為y=﹣x+2，

設E（m， m2﹣m+2），EF=n，則D（m﹣n，﹣ m+n+2），

∴DF=﹣m+n+2﹣（m2﹣m+2）=﹣m2+2m+n，

∵OC∥DF，

∴∠OCB=∠FDB，

∵DE∥CA，

∴∠ACB=∠EDB，

∴∠OCA=∠FDE，

∴Rt△OCA∽Rt△FDE，

∴=，

∴===2，

∴﹣m2+2m+n=2n，

∴n=﹣m2+m，

在Rt△DEF中，DE==EF=n=﹣m2+m，

∵DE=﹣（m﹣2）2+，

∴當m=2時，DE的長有最大值，最大值為；

（3）四邊形CAED為菱形．理由如下：

AC==，BC==2，

∵點D為BC的中點，

∴D（2，1），CD=，

易得直線AC的解析式為y=﹣2x+2，

設直線DE的解析式為y=﹣2x+p，

把D（2，1）代入得1=﹣4+p，解得p=4，

∴直線DE的解析式為y=﹣2x+5，

解方程組得或，則E（3，﹣1），

∴DE==，

∴AC=DE，

而AC∥DE，

∴四邊形CAED為平行四邊形，

∵CA=CD，

∴四邊形CAED為菱形．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：綜合題