（2017•重慶）如圖，在平面直角座標系中，拋物線y＝x2﹣x﹣與x軸交於A、B兩點（點A在點B的左側），與y...

問題詳情：

（2017•重慶）如圖，在平面直角座標系中，拋物線y＝x2﹣x﹣與x軸交於A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交於點C，對稱軸與x軸交於點D，點E（4，n）在拋物線上．

（1）求直線AE的解析式；

（2）點P為直線CE下方拋物線上的一點，連接PC，PE．當△PCE的面積最大時，連接CD，CB，點K是線段CB的中點，點M是CP上的一點，點N是CD上的一點，求KM+MN+NK的最小值；

（3）點G是線段CE的中點，將拋物線y＝x2﹣x﹣沿x軸正方向平移得到新拋物線y′，y′經過點D，y′的頂點為點F．在新拋物線y′的對稱軸上，是否存在點Q，使得△FGQ為等腰三角形？若存在，直接寫出點Q的座標；若不存在，請説明理由．

【回答】

解析：（1）∵y＝x2﹣x﹣，

∴y＝（x+1）（x﹣3）．

∴A（﹣1，0），B（3，0）．

當x＝4時，y＝．

∴E（4，）．

設直線AE的解析式為y＝kx+b，將點A和點E的座標代入得：，

解得：k＝，b＝．

∴直線AE的解析式為y＝x+．

（2）設直線CE的解析式為y＝mx﹣，將點E的座標代入得：4m﹣＝，解得：m＝．

∴直線CE的解析式為y＝x﹣．

過點P作PF∥y軸，交CE與點F．

設點P的座標為（x，x2﹣x﹣），則點F（x，x﹣），

則FP＝（x﹣）﹣（x2﹣x﹣）＝x2+x．

∴△EPC的面積＝×（x2+x）×4＝﹣x2+x．

∴當x＝2時，△EPC的面積最大．

∴P（2，﹣）．

如圖2所示：作點K關於CD和CP的對稱點G、H，連接G、H交CD和CP與N、M．

∵K是CB的中點，

∴k（，﹣）．

∴tan∠KCP＝．

∵OD＝1，OC＝，

∴tan∠OCD＝．

∴∠OCD＝∠KCP＝30°．

∴∠KCD＝30°．

∵k是BC的中點，∠OCB＝60°，

∴OC＝CK．

∴點O與點K關於CD對稱．

∴點G與點O重合．

∴點G（0，0）．

∵點H與點K關於CP對稱，

∴點H的座標為（，﹣）．

∴KM+MN+NK＝MH+MN+GN．

當點O、N、M、H在條直線上時，KM+MN+NK有最小值，最小值＝GH．

∴GH＝＝3．

∴KM+MN+NK的最小值為3．

（3）如圖3所示：

∵y′經過點D，y′的頂點為點F，

∴點F（3，﹣）．

∵點G為CE的中點，

∴G（2，）．

∴FG＝＝．

∴當FG＝FQ時，點Q（3，），Q′（3，）．

當GF＝GQ時，點F與點Q″關於y＝對稱，

∴點Q″（3，2）．

當QG＝QF時，設點Q1的座標為（3，a）．

由兩點間的距離公式可知：a+＝，解得：a＝﹣．

∴點Q1的座標為（3，﹣）．

綜上所述，點Q的座標為（3，）或′（3，）或（3，2）或（3，﹣）．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：綜合題