如圖，已知拋物線的對稱軸是直線x=3，且與x軸相交於A，B兩點（B點在A點右側）與y軸交於C點．（1）求拋物線...
問題詳情：
如圖， 已知拋物線
的對稱軸是直線x=3，且與x軸相交於A，B兩點（B點在A點右側）與y軸交於C點 ．
（1）求拋物線的解析式和A、B兩點的座標；
（2）若點P是拋物線上B、C兩點之間的一個動點（不與B、C重合），則是否存在一點P，使△PBC的面積最大．若存在，請求出△PBC的最大面積；若不存在，試説明理由；
（3）若M是拋物線上任意一點，過點M作y軸的平行線，交直線BC於點N，當MN=3時，求M點的座標 ．
【回答】
（1）
，點A的座標為(-2，0)，點B的座標為(8，0)；（2）存在點P，使△PBC的面積最大，最大面積是16，理由見解析；（3）點M的座標為(4-2
，
)、(2，6)、(6，4)或(4+2
，-
)．
【分析】
（1） 由拋物線的對稱軸為直線x=3，利用二次函數的*質即可求出a值， 進而可得出拋物線的解析式， 再利用二次函數圖象上點的座標特徵， 即可求出點A、B的座標；
（2） 利用二次函數圖象上點的座標特徵可求出點C的座標， 由點B、C的座標， 利用待定係數法即可求出直線BC的解析式， 假設存在， 設點P的座標為（x,
），過點P作PD//y軸， 交直線BC於點D，則點D的座標為（x,
），PD=-
x2+2x，利用三角形的面積公式即可得出三角形PBC的面積關於x的函數關係式， 再利用二次函數的*質即可解決最值問題；
（3） 設點M的座標為（m,
），則點N的座標為（m,
），進而可得出MN
，結合MN=3即可得出關於m的含絕對值符號的一元二次方程， 解之即可得出結論 ．
【詳解】
（1）
拋物線
的對稱軸是直線
，
，解得：
，
拋物線的解析式為
．
當
時，
，
解得：
，
，
點
的座標為
，點
的座標為
．
（2） 當
時，
，
點
的座標為
．
設直線
的解析式為
．
將
、
代入
，
，解得：
，
直線
的解析式為
．
假設存在， 設點
的座標為
，過點
作
軸， 交直線
於點
，則點
的座標為
，如圖所示 ．
，
．
，
當
時，
的面積最大， 最大面積是 16 ．
，
存在點
，使
的面積最大， 最大面積是 16 ．
（3） 設點
的座標為
，則點
的座標為
，
．
又
，
．
當
時， 有
，
解得：
，
，
點
的座標為
或
；
當
或
時， 有
，
解得：
，
，
點
的座標為
，
或
，
．
綜上所述：
點的座標為
，
、
、
或
，
．
【點睛】
本題考查了二次函數的*質、 二次函數圖象上點的座標特徵、 待定係數法求一次函數解析式以及三角形的面積， 解題的關鍵是： （1） 利用二次函數的*質求出a的值； （2） 根據三角形的面積公式找出關於x的函數關係式； （3） 根據MN的長度， 找出關於m的含絕對值符號的一元二次方程 ．
知識點：二次函數的圖象和*質
題型：解答題
